偏差値のミステリー?

かつて、「ポン・キン・カン」という言葉があった。「日本大学・近畿大学・関西大学」の略。しかし、今や、関西大学は「カン・カン・ドー・リツ」の一角を担う「私学の雄」となった(かく言う我が家も、私を除いて、カンペキな関大閥である)。要するに、昔は偏差値の低かった学校が今やとびきりの「高偏差値校」になっているとか、「カン・カン・ドー・リツ」は昔に比べてずいぶん偏差値が上がった(難しくなった?)というようなハナシ。

しかし、よくよく考えれば(考えなくとも)わかることだが、18歳人口はどんどん減少しているのだから、大学はどんどん入り易くなっている。「カン・カン・ドー・リツ」あたりにしても、昔に比べると学生のほんとうの学力、「地頭」(じあたま)とでもいうか「実力」というか、そういうものは、低下の一途をたどっているはずである。それにもかかわらず、なぜ「カン・カン・ドー・リツ」の名目偏差値は上昇しているのだろうか?

この「ミステリー」を解く鍵は、大学進学率の上昇にあるのだろう。
18歳人口が減少しているにもかかわらず、各大学の定員数は変わらない。だから、東京大学を筆頭にすべての大学の入学競争は緩和されて、入り易くなっている。それなのに、各大学の偏差値が上昇しているのは、大学進学率が上昇して、大学入学者全体の平均学力がどんどん低下しているからであろう。世間に公表される(名目上の)「偏差値」とは、あくまで、ある年の大学入学者たちのあいだでだけ測定された相対的な学力指標であることに注意すべきである。

ということで、さいきん、そういう分析をするためのモデルを考えている(こういう分野はトーシロなのでトンでもない勘違いがあるのかもしれないけれど、先行研究のようなものも見当たらないし・・・というか、まだ真剣に先行研究を探す段階でもないので^^)。

ある個人の実力(地頭、時代不変のいわば「実偏差値」)の尺度を a として、これがある確率分布にしたがうとする。この分布関数の逆関数を φ としよう。18歳人口を N そのうち大学に進学する者の数を R とすると、大学進学率は R/N 。日本全国の大学を、No1の東京大学、No2の京都大学等々と入りにくい(難しい)順に並べて、それぞれの入学定員を累積したものを C(k) とする。C(1) は東京大学の入学定員数、C(2) は東京大学と京都大学の入学定員数の合計、C(k) は東大から k 番目に難しい大学までの入学定員数の合計となる。受験生は実偏差値の順に上位校へ進学していくものとして、簡単化のために多少の例外は無視する。
これらの仮定のもとで・・・

ある年に日本全国で大学に進学した者のうち最低の地頭を持つ(いちばんアホな)者の地頭の程度は φ(1-R/N) 、日本で k 番目にむずかしい大学に入学した者たちの地頭の程度は φ(1-C(k-1)/N) から φ(1-C(k)/N) のあいだにおさまり、k 番目にむずかしい大学の「実偏差値」は φ(1-C(k)/N) となる。

容易にわかるとおり(φは単調増加関数だから)、各大学が定員数を維持して(C(k)は不変で)、18歳人口 N が減少すると、各大学の実偏差値 φ(1-C(k)/N) は低下する。東大も京大も昔より入り易くなり、入学者の実学力(の平均)は低下する。

しかし、世間で公表される「名目の偏差値」はそうはならない。名目の「偏差値」H は、その年の大学入学者全員の学力の平均と分散を基準にして計算されるからである。日本で k 番目にむずかしい大学の「名目偏差値」 H(k) は、次のように算定されているはず(以下、E[ | ] は条件付き期待値計算のオペレータ)。

H(k) = { φ(1-C(k)/N) – m }/s * 10 + 50
ここに
m = E[ a | a > φ(1-R/N) ], s2 = E[ (a-m)2 | a > φ(1-R/N) ]

18歳人口 N が減少すると、実偏差値 φ(1-C(k)/N) は低下(入学者のほんとうの実力は低下)するが、同時に日本では大学進学率 R/N が上昇してきたから、日本全体の大学入学者の平均学力 m も減少し(標準偏差 s は上昇するが)、相対的な名目偏差値 H(k) は(上位校では)上昇してきた。

というようなモデルをいま考えていて、数量ベースの実証ができないものかと思うのだけれど・・・

好みの銭湯

銭湯は大好き。あちこちの銭湯を渡り歩いているが、拙宅から歩いて(走って/自転車で)行ける範囲内で、好みの銭湯は以下のようだ。

豊中市庄内の「五色」(夢の公衆浴場・五色のWebサイト)。「日本一」を自称する巨大な銭湯、広さはほんとうに日本一。庄内というと、拙宅からは、淀川と神崎川を越えて8kmほどの距離。格好のジョギングコース^^ではあるのだが、仕事終わりの深夜では帰路(湯上がり後)の交通機関が無いため、自転車で行く。

阪神尼崎センタープール前「みずきの湯」。低温炭酸泉と、強力なジャグジーで肩こり(持病の頸椎ヘルニア)を癒やせる。阪神尼崎には「戎湯」という老舗もあり、ここも良い(尼崎の人情銭湯「築地戎湯」)。拙宅から尼崎まではやはり8kmほど。排気ガスがすごいのでジョギングには向かないが、車の少ない日曜の朝に国道43号線を自転車で爆走すると気分爽快。

下にも記した「新世界ラジウム温泉」。新世界というと「スパ・ワールド」が有名だが、料金が高いし、好みではない。銭湯の風情を楽しめるのは、こちら。休みの日に通天閣までジョギングしたあとにここで汗を流す(先に記したとおり)。また、新今宮駅は通勤経路でもあり、帰路にときどき、立ち寄ることもある。

夏休み前半のいろいろ

院生の修論指導のために、日中産連(「2007年日中国際産業連関表」)分析のためのRスクリプトを準備した。日中各産業の特性比較などをやったあとに、中国経済の減速と構造変化が日本経済にどう影響するかを算定してみるのが目標。しかし・・・使うコマンドを10個ほどにしぼり相当に丁寧な資料を作成した(つもりだった)のだが、2講時(3時間)×3回ほどの集中セミナーで授業(つまり、業を授けることが)可能という目論見は、まったくもって、的外れだった。参加者(総数2名)は R プログラムの説明にまったく反応がなく、昼休憩をはさんで2時間をすぎたあたりから受講者の1人(総数2名中の1名)が、講師(私)の目前で爆睡に入ってしまった(笑)。休み返上の特訓自主セミナーなどと、ちょっと浮かれていた自分(の見通しの甘さ)を猛省。

盆休みは、(秋からの英国滞在に備えて)自分まわりのことに180度旋回。とりあえず R/Stan や TensorFlow/Keras 等々、向こうに着いたらゆっくり眺めてみようと思っている技術書(こういうのはやはり日本語で日本人が書いたものがよいのです、笑)や、向こうで共同研究できればよいと思っている日本の産業政策や国際競争力の研究書なども含めて、けっきょく日本語の本を30冊ほど自炊して、Dropboxへアップロードした。

最近のマイブーム。健康面では、腹筋を鍛えるプランク運動(シックス・パックをめざす^^)と、自宅から新世界まで大阪市内8kmほどのジョギング/速歩き(源兵衛渡→中央図書館→湊町→宗右衛門町→千日前→黒門市場→恵美須町)。約1時間の行程で、ゴールは通天閣。新世界温泉で汗を流し、環状線で自宅に戻ってくる。

食べ物では、あちこちの京都王将(「餃子の王将」)を食べ歩き。少し前からはじまったポイントシステムで、漆黒の会員カードももちろん既に入手(常時 5%割引^^)。ここまでのところの No.1 店舗は、やはり地元JR野田駅の玉川店。この店はもう30年も続いていてコアの店員も変わらないのだが、(元バイク族リーダとおぼしき)店主のこだわりが素晴らしい。スーパードライ大瓶633mlが、いつも、ほんとうに「キンキンに」冷えている(氷を大量に使って特別な冷やし方をしている)。英国には美味いリアルエールが目白押しとはいえ、涼しい英国でも、この店の「瓶ビール」だけは絶対に恋しくなるだろう^^。
なお、京都王将といえば四条大宮の第一号店だが、実は入ったことがない。あそこ(四条大宮交差点)に立つと、どうしても行きたくなる店が他にあるから(京都一うまい京一ラーメン)。